先看无穷的性质。早在伽利略时已经发现了无穷有一个奇怪的性质，就是无穷的集合和它的很小的部分。上面是自然数，下面是自然数的平方，下面的每个数都属于上面这个集合，而且这个自然数的平方数是很少的，但是它们之间一一对应。有一个自然数，就有一个自然数的平方。如果把两个集合有一一对应的关系叫作两个集合有相同的基数或者两个集合等价，也就说自然数和自然数很小的部分是等价的。一样多的概念容易接受，比如我们今天座位如果坐满了，人的个数和座位的个数是一样多的。但是任何一个有穷的集合都没有这个性质。有穷，有五个东西，拿走一个，和原来集合再也不能一一对应。比如如果哪个同学走了，那么这个座位就比人数要多一个，再也不能对应起来。但是无穷可以。

再讲个故事，叫希尔伯特旅馆。某一天有个小镇过节了，小镇上人很多。有一对客人晚上敲旅店的门。旅店老板说房间满了。客人说找不到，问老板能不能想办法？老板想了一个办法。他敲响了第一个房间的门，对第一房间客人说，今天晚上有点事情，希望搬到第二个房间去，他就搬到第二房间去。他再敲响第二个房间的门，让第二个房间客人搬到第三个房间。这样一个一个搬过去以后，第一个房间就空出来了，新来的客人住下去发现房间够用。这个客人躺在床上想了一晚上，原来满了，为什么一个一个往后移就够用了？他后来想这个旅店有无穷个房间。假设这是自然数，去掉一个，我说0没了，在做对应的时候，两个还是一样多，这就是无穷的重要性质。这个性质一开始看起来有点悖论性质，因为整体大于部分，但是无穷和它的真子集有相同的基数，这样的集合就叫无穷。