能想到第一个无穷的对象是自然数，所有的自然数合在一起的集合，没完没了。N显然无穷的，由上一页可知。N是最小的无穷，如果还有一个无穷的集合，那么N一定比这个集合要小。有一个自然数，这个集合拿出一个元素和你的自然数能够一一对应完，而我可能还多，也可能不多，但是至少不会比你少。假设X是无穷的，在X中任取一个，第一个元素叫a₀，对应着0，把a₀去掉以后，再取一个元素，让a₁对着1，这样一直无穷就可以取下去。如果把X取完了，X就是有穷的，就到a_N，永远不可能停止。无穷是最小的，叫作“ω（欧米伽）”或者叫“ℵ₀（阿列夫零）”。阿列夫是康托最早起的名字，是希伯来文的第一个字母，他觉得拉丁文、希腊文用烦了，所以取阿列夫，用来记录无穷的基数。

整数是无穷的，因为它比自然数还多。它的基数也是ℵ₀，用自然数一个一个地把整数数过来就行。看上去很难数，因为没有头，不知道从哪开始数，但可以把整数重新排列：0，1，-1，2，-2，3，-3……，用自然数一个一个可以对应过来，把它数完。所以整数的基数也是ℵ₀，也是最小的无穷。

比整数更多的是有理数。可是有理数比整数多和整数比自然数多不太一样，因为有理数是稠密的，任意两个有理数之间还有一个有理数。它是无穷的，它的基数也是ℵ₀。要证明它是ℵ₀，要用自然数把它数过来。把Q中的元素按照Q=｛1，2，1/2，1/3，3，4，3/2，2/3，1/4，……｝排列。这是用一对一对自然数组做的平面。这里是1，1/2，1/3，1/4，1/5，1/6……这个分子是2，2/1，2/2，2/3……，这边是分子在增加，这边是分母在增加。所有的有理数、分数都在这里，现在用自然数去数它，当然数不完，永远回不到2。但是先数1，再数2，数完2，再数1/2，数完1/2，再数1/3……。红的是重复的，某一个整数，重复掉了。按照这个方向数，每一个有理数最终都会被数到，因为自然数是无穷的。这种数的方法叫作对角线法。有理数也和自然数一样，它的基数也是ℵ₀。这就说明无穷没有尺寸，无穷只有一个，都是和自然数一样。