实数的基数，R=｛X:X是戴德金切割｝。实数是无穷的，因为每个自然数都是实数，但实数的基数不是ℵ₀。实数的基数比ℵ₀大，做出这个证明的人叫格奥尔格·康托，它创立了集合论这门关于无穷的学问，通过集合论为数学中的实数理论奠定了基础。怎么证明实数比ℵ₀大？有很多种办法，其中一种办法叫对角线法。要证明实数比自然数大，只要证明怎么用自然数数不完实数，怎么数都会漏掉，证明0，1之间的小数数不完，因为0，1之间的小数和实数一样多。a₁，a₂代表的是0到9之间的某个自然数。假设把这个数完，0，1之间所有的小数都已经在这一排里了。我现在造一个数b，用对角线法，看对角线上这个数字，比如5，让b_n=6。如果对角线上a_nⁿ=5，它不等于5，我就把它改成5，得到一个小数是0.b₁b₂b₃……，小数和里面的每个小数都不一样。因为b₁和a₁¹不一样，b₂和a₂²不一样，b₃和它不一样。b不等于任何一个a_n。所以永远数不完实数，会漏掉非常多。

另一个证明方法是数学中很有意思的概念，叫Cantor集。这是一条线段。想象一下0，1之间的区间，每次把中间的1/3去掉，最后会得到一个点，这个集合叫Cantor集。平面中间挖掉1/3，两边剩下的1/3再挖掉1/3，然后剩下1/3再挖掉1/3，最后就是一个实数的点。Cantor集就是把这些集合交在一起，就是一些实数上的点。

C显然是无穷的，它的基数是幂集。一个集合是X的，X的幂集就是它的所有子集构成的集合。如果一个集合有三个元素，它的幂集有几个元素？是2ⁿ。对于无穷也是一样，但是先证明康托定理，任何一个集合，它的幂集的基数都比它本身的基数大。