最小的无穷ℵ₀的幂集肯定比ℵ₀大，它的基数称作2ℵ₀（读作：二的阿列夫零次方）。用0、1去组织序列，像一棵倒着长的树，每一条支就是0、1，0、1的序列。0、1，0、1的序列跟自然数的子集是一样多的。假设这个集合是B，B的基数就是自然数的幂集的基数。一个集合的示性函数或者特征函数，如果我来检测，它在里面，就回答yes，不在里面，回答no。yes用1来表示，no用0来表示。任取一个自然数的子集，比如1，2，3，那么它对应的0、1序列应该是0、1、1、1、0。自然数第一个是0，它不在里面，所以回答no，1在里面就回答1，2在里面回答1，3在里面1，4不在里面回答0，后面都是0了。所以每个这样的自然数子集都对应着这个数的一个无穷的分支，是一一对应的。

无穷的分支和Cantor集是一一对应的，Cantor集每次去掉1/3就是分左右，无穷的分支每次左边是0，右边是1，证明实数的基数等于自然数基数的幂集，等于2ℵ₀，大于ℵ₀，大于自然数的基数。我们找到了一个无穷比另一个无穷大，而且大小是有定义的，这是数学的证明。想象整数比自然数多，但不是整数的无穷比自然数大。这是一个惊人的发现。因为无穷也分出了大小，如果无穷只有一个，是一片混沌，集合论这门学科就不需要了，正是因为我们能在无穷中分辨出大小，所以产生了一个研究无穷的（科学）。