这个问题被提出来40年以后（1938年），哥德尔证明，不能证明CH是假的，就是连续统假设是错的。又过了60多年以后（1963年），科恩证明，不能证明CH是真的，就是连续统是对的。

这是什么意思？

第一个问题是怎么样才算是一个“证明”？怎么能证明它“不能证明”？比如哥德巴赫猜想，现在没有证明是因为我现在不够聪明；费马大定理，哪一天灵感来了，就能证明了。但是哥德尔和科恩的意思是说你不管多聪明，你都不能证明。一旦在数学中证明什么不能证明，就要学逻辑，光学数学不够。

第二个问题是一个数学命题是真的，这是什么意思？连续统假设你不能证明它是真的，也不能证明它假的，所以第三个问题是它到底是真的还是假的？这就引导我们进入这个问题，真理离我们有多远？大家不要觉得数学好像是一门严密、精密的学科，数学中还有很多这样没法回答或者没法确定的问题。

什么是证明？一个数学证明是从一组公理出发，按照逻辑规则得到一些称作定理的数学命题的过程。目前有一个公认为数学基础的公理系统，就是说所有的数学定理“原则”上都可由这些公理证明。这个公理系统就是ZFC。ZFC是由这三位数学家经过多年的努力建立起来的，Z代表策梅罗，F代表弗兰克尔，这是斯克伦。弗兰克尔、斯克伦只贡献了倒数第二条公理。其他的是策梅罗提出来的。一开始大家都认为倒数第二条是弗兰克尔的，但是最近发现，是他俩各自独立地提出来。C就是选择公理，选择公理也是策梅罗在证明良序定理的时候发现的。选择公理以前大家都在偷偷地用。策梅罗把这条公理提出来了，没有这个公理，许多东西没法证明。选择公理在现代数学史上争论非常大。

作为数学基础的ZFC，每一个数学定理都是ZFC的定理。CH不是ZFC的定理，CH否定也不是ZFC定理。证明“不能证明”到底是怎么做到的？哥德尔构造了一个模型L，在其中ZFC的公理和CH都是真的，所以根据逻辑的定理，我们不能指望从ZFC出发证明CH是假的。科恩做了相反的工作，他构造一个模型M[G]，在其中ZFC的公理和并非CH都是真的，所以根据逻辑的定理，我们不能指望从ZFC证明CH是真的。既不能证明它真也不能证明它假。