比照了这个性质，就可以考虑定义这样一个无穷，对比它小的无穷，就像ℵ₀对待有穷一样。ℵ₀和有穷之间有一个鸿沟，这个鸿沟是由这两条规定的，永远没法逾越。是不是有一个无穷，比它小的无穷和它之间也有这样的鸿沟。任意一个函数，从λ到κ都是有界的，并且不是取幂集，基数也在增加，但不管怎么增加还是比κ小。如果这样的基数存在，那这个基数叫作不可达基数。不可达基数有四位贡献者——豪斯多夫（Hausdorff）、策梅罗、谢尔品斯基（Sierpiski，波兰人，与策梅罗1930年合作发表1篇文章）、塔斯基。

这样定义出来的不可达基数存在吗？我们没法证明。这跟哥德尔的不完全性定理有关系。如果κ是不可达基数，我们可以在ZFC里证明Vκ是ZFC的模型。但是哥德尔不完全性定理恰恰说在ZFC里面不能证明ZFC有模型。这两个合起来，就是说ZFC不能证明存在不可达基数，我们没法解决这个问题。