一提逻辑，大家就会想到三段论。想到所有人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。或者会想到辩论赛，想到对方辩友如何，你这个逻辑有问题。但这些和古代逻辑有关系。最近这些年来，逻辑的发展有很大的变化。今天这个题目叫《无穷有多大？》，是当代逻辑学比较核心的问题。

突然有人问“无穷到底有多大？”“真理有多远？”“人类有多傻？”，这是当代逻辑学三个比较核心的领域。第一个叫集合论，讲无穷的。第二个叫模型论，讲真理的。第三个叫可计算性理论，原来经典也叫作递归论，和计算机有一些关系。也可以说“无穷有多小？”“真理有多近？”“人类有多聪明？”，测量的度是一样。从今天逻辑学的结果来看，回答可以是“无穷有多大，真理就有多远”。因为我们认识关于数学世界的真理，和无穷联系在一起。“真理有多远，人类就有多傻。”因为我们离真理越远越傻。

讲无穷，从尺寸讲起。尺寸从开始就与人类文化中有着很深的渊源。因为大家都爱比大小，比如小时候会说我的这个鸡蛋比你的大，我的比你的多。尺寸会对人产生很大的影响，是人最基本的感受。尺寸足够了，再讲好和坏。中国字里面“美”就是羊大为美。

这是一个短片，先看看物理的尺寸。这是月球、水星、火星、金星、地球、海王星、土星，都是行星，恒星和它尺寸完全不一样，但是恒星也有尺寸。当我们看到这个恒星的时候，太阳已经变得像一个米粒。现在太阳连像素都没有。有一段时间会认为这是我们能够观测到的最大的恒星。在表面上看，地球就是一个点。28亿公里的直径，坐着飞机绕地球一圈，不知道大概多少小时，但是坐着飞机绕这颗恒星一圈，需要1100年。所有这些都不过是整个宇宙的沧海一粟。我们非常渺小，所以对尺寸、对大的东西有一种敬仰。我们还可以静态地来看比较的大小。可以想象，我们人有多么渺小，我们认识这个宇宙需要费多么大的劲。但是不管多大，不管宇宙多广，从今天的物理学观点来看，这些也都是有穷的。逻辑和数学起手就谈论无穷。

平时也会遇到无穷的对象，比如π，π的小数点的展开位比所有那些都多，写不完，是一个非常实在的无穷。它跟有理数不一样，有理数在某一位以后就重复了，知道后面是什么，可是π永远不知道下一位是什么。动用整个宇宙的粒子记录π也记录不完，这个不完是还没有尽，因为你记的都是有穷的，剩下的都是无穷的。假设这是最小的无穷，通常用ω来记录，物理宇宙是Nothing，连个像素都没有。

物理世界有那么多尺寸，那无穷有没有尺寸呢？既然是尺寸，就有大小。

先看无穷的性质。早在伽利略时已经发现了无穷有一个奇怪的性质，就是无穷的集合和它的很小的部分。上面是自然数，下面是自然数的平方，下面的每个数都属于上面这个集合，而且这个自然数的平方数是很少的，但是它们之间一一对应。有一个自然数，就有一个自然数的平方。如果把两个集合有一一对应的关系叫作两个集合有相同的基数或者两个集合等价，也就说自然数和自然数很小的部分是等价的。一样多的概念容易接受，比如我们今天座位如果坐满了，人的个数和座位的个数是一样多的。但是任何一个有穷的集合都没有这个性质。有穷，有五个东西，拿走一个，和原来集合再也不能一一对应。比如如果哪个同学走了，那么这个座位就比人数要多一个，再也不能对应起来。但是无穷可以。

再讲个故事，叫希尔伯特旅馆。某一天有个小镇过节了，小镇上人很多。有一对客人晚上敲旅店的门。旅店老板说房间满了。客人说找不到，问老板能不能想办法？老板想了一个办法。他敲响了第一个房间的门，对第一房间客人说，今天晚上有点事情，希望搬到第二个房间去，他就搬到第二房间去。他再敲响第二个房间的门，让第二个房间客人搬到第三个房间。这样一个一个搬过去以后，第一个房间就空出来了，新来的客人住下去发现房间够用。这个客人躺在床上想了一晚上，原来满了，为什么一个一个往后移就够用了？他后来想这个旅店有无穷个房间。假设这是自然数，去掉一个，我说0没了，在做对应的时候，两个还是一样多，这就是无穷的重要性质。这个性质一开始看起来有点悖论性质，因为整体大于部分，但是无穷和它的真子集有相同的基数，这样的集合就叫无穷。

能想到第一个无穷的对象是自然数，所有的自然数合在一起的集合，没完没了。N显然无穷的，由上一页可知。N是最小的无穷，如果还有一个无穷的集合，那么N一定比这个集合要小。有一个自然数，这个集合拿出一个元素和你的自然数能够一一对应完，而我可能还多，也可能不多，但是至少不会比你少。假设X是无穷的，在X中任取一个，第一个元素叫a0，对应着0，把a0去掉以后，再取一个元素，让a1对着1，这样一直无穷就可以取下去。如果把X取完了，X就是有穷的，就到aN，永远不可能停止。无穷是最小的，叫作“ω（欧米伽）”或者叫“ℵ0（阿列夫零）”。阿列夫是康托最早起的名字，是希伯来文的第一个字母，他觉得拉丁文、希腊文用烦了，所以取阿列夫，用来记录无穷的基数。

整数是无穷的，因为它比自然数还多。它的基数也是ℵ₀，用自然数一个一个地把整数数过来就行。看上去很难数，因为没有头，不知道从哪开始数，但可以把整数重新排列：0，1，-1，2，-2，3，-3……，用自然数一个一个可以对应过来，把它数完。所以整数的基数也是ℵ₀，也是最小的无穷。

比整数更多的是有理数。可是有理数比整数多和整数比自然数多不太一样，因为有理数是稠密的，任意两个有理数之间还有一个有理数。它是无穷的，它的基数也是ℵ₀。要证明它是ℵ₀，要用自然数把它数过来。把Q中的元素按照Q=｛1，2，1/2，1/3，3，4，3/2，2/3，1/4，……｝排列。这是用一对一对自然数组做的平面。这里是1，1/2，1/3，1/4，1/5，1/6……这个分子是2，2/1，2/2，2/3……，这边是分子在增加，这边是分母在增加。所有的有理数、分数都在这里，现在用自然数去数它，当然数不完，永远回不到2。但是先数1，再数2，数完2，再数1/2，数完1/2，再数1/3……。红的是重复的，某一个整数，重复掉了。按照这个方向数，每一个有理数最终都会被数到，因为自然数是无穷的。这种数的方法叫作对角线法。有理数也和自然数一样，它的基数也是ℵ₀。这就说明无穷没有尺寸，无穷只有一个，都是和自然数一样。

实数的基数，R=｛X:X是戴德金切割｝。实数是无穷的，因为每个自然数都是实数，但实数的基数不是ℵ₀。实数的基数比ℵ₀大，做出这个证明的人叫格奥尔格·康托，它创立了集合论这门关于无穷的学问，通过集合论为数学中的实数理论奠定了基础。怎么证明实数比ℵ₀大？有很多种办法，其中一种办法叫对角线法。要证明实数比自然数大，只要证明怎么用自然数数不完实数，怎么数都会漏掉，证明0，1之间的小数数不完，因为0，1之间的小数和实数一样多。a1，a2代表的是0到9之间的某个自然数。假设把这个数完，0，1之间所有的小数都已经在这一排里了。我现在造一个数b，用对角线法，看对角线上这个数字，比如5，让bn=6。如果对角线上ann=5，它不等于5，我就把它改成5，得到一个小数是0.b1b2b3……，小数和里面的每个小数都不一样。因为b1和a11不一样，b2和a22不一样，b3和它不一样。b不等于任何一个an。所以永远数不完实数，会漏掉非常多。

另一个证明方法是数学中很有意思的概念，叫Cantor集。这是一条线段。想象一下0，1之间的区间，每次把中间的1/3去掉，最后会得到一个点，这个集合叫Cantor集。平面中间挖掉1/3，两边剩下的1/3再挖掉1/3，然后剩下1/3再挖掉1/3，最后就是一个实数的点。Cantor集就是把这些集合交在一起，就是一些实数上的点。

C显然是无穷的，它的基数是幂集。一个集合是X的，X的幂集就是它的所有子集构成的集合。如果一个集合有三个元素，它的幂集有几个元素？是2n。对于无穷也是一样，但是先证明康托定理，任何一个集合，它的幂集的基数都比它本身的基数大。