有穷集合，2n显然大于n。康托定理的意义是说无穷集合的幂集比它本身的基数要大。

这个证明用到的方法（反证法）和对角线法是一样的，还牵扯了罗素悖论。假设它们是一样的，根据基数相等的定义，有一个f，它们之间是一一对应，就是既单且满的映射。这个集合是说x属于X并且不属于f(x)。我从X取一个元素映射到一个x子集，它属于x幂集，它就是x的一个子集。这里是X的一个元素，那它是不是在X子集里面？它可能属于可能不属于，但我挑出不属于的。Y本身是X的一个子集，这又是一一对应，一定有一个y和Y对应，因为所有子集都有对应。y属不属于f(y)？如果属于，按照定义它不属于。它如果不属于，按照定义它又进去了。这就是所谓的悖论，X属于Y当且仅当X不属于Y，if and only if，数学、逻辑学叫paradox（悖论）。罗素悖论道理和这是完全一样的，每一个集合的幂集总比它要大。

最小的无穷ℵ₀的幂集肯定比ℵ₀大，它的基数称作2ℵ₀（读作：二的阿列夫零次方）。用0、1去组织序列，像一棵倒着长的树，每一条支就是0、1，0、1的序列。0、1，0、1的序列跟自然数的子集是一样多的。假设这个集合是B，B的基数就是自然数的幂集的基数。一个集合的示性函数或者特征函数，如果我来检测，它在里面，就回答yes，不在里面，回答no。yes用1来表示，no用0来表示。任取一个自然数的子集，比如1，2，3，那么它对应的0、1序列应该是0、1、1、1、0。自然数第一个是0，它不在里面，所以回答no，1在里面就回答1，2在里面回答1，3在里面1，4不在里面回答0，后面都是0了。所以每个这样的自然数子集都对应着这个数的一个无穷的分支，是一一对应的。

无穷的分支和Cantor集是一一对应的，Cantor集每次去掉1/3就是分左右，无穷的分支每次左边是0，右边是1，证明实数的基数等于自然数基数的幂集，等于2ℵ₀，大于ℵ₀，大于自然数的基数。我们找到了一个无穷比另一个无穷大，而且大小是有定义的，这是数学的证明。想象整数比自然数多，但不是整数的无穷比自然数大。这是一个惊人的发现。因为无穷也分出了大小，如果无穷只有一个，是一片混沌，集合论这门学科就不需要了，正是因为我们能在无穷中分辨出大小，所以产生了一个研究无穷的（科学）。

实数的基数，或者2ℵ₀比ℵ₀大多少？康托首先提了问题，并做了猜想。康托猜想说大一点点，就是它的下一个无穷。ℵ₀是第一个无穷，用ℵ₁表示下一个无穷。他说2ℵ₀就是ℵ₁，这就是著名的连续统假设，continuum hypothesis，用CH来代表。连续统假设的另一个表述是不存在一个集合，它的基数比自然数大，但是比实数小，在实数的基数和自然数的基数之间没有另一个无穷，无穷在另一个地方。

康托一度认为自己已经证明了这个问题，可是问题很复杂。到了1900年，这个问题还没解决。数学界领袖希尔伯特在1901年数学家大会上提出了23个问题，这个问题后来被称作希尔伯特问题。希尔伯特问题影响了20世纪几乎所有重要的数学研究。第一个问题是康托提出的问题，连续统假设是对还是错？希尔伯特的演讲发表在1902年的杂志上。这是希尔伯特在杂志上的原文表述，译成中文是：一个无穷的实数系统，即数（或点）的集合，或者等价于自然数1、2、3……的集合，或者等价于所有实数的集合，因此等价于连续统，即直线上的点；所以在等价的意义上只有两类数的集合，可数集和连续统。由这个定理立即可以证明连续统是大于可数集的下一个基数；证明这个定理将在可数集和连续统之间架起一座新的桥梁。

但是这座桥梁是不存在的。这个问题被提出来40年以后（1938年），哥德尔证明，不能证明CH是假的，就是连续统假设是错的。又过了60多年以后（1963年），科恩证明，不能证明CH是真的，就是连续统是对的。

这是什么意思？

第一个问题是怎么样才算是一个“证明”？怎么能证明它“不能证明”？比如哥德巴赫猜想，现在没有证明是因为我现在不够聪明；费马大定理，哪一天灵感来了，就能证明了。但是哥德尔和科恩的意思是说你不管多聪明，你都不能证明。一旦在数学中证明什么不能证明，就要学逻辑，光学数学不够。

第二个问题是一个数学命题是真的，这是什么意思？连续统假设你不能证明它是真的，也不能证明它假的，所以第三个问题是它到底是真的还是假的？这就引导我们进入这个问题，真理离我们有多远？大家不要觉得数学好像是一门严密、精密的学科，数学中还有很多这样没法回答或者没法确定的问题。

什么是证明？一个数学证明是从一组公理出发，按照逻辑规则得到一些称作定理的数学命题的过程。目前有一个公认为数学基础的公理系统，就是说所有的数学定理“原则”上都可由这些公理证明。这个公理系统就是ZFC。ZFC是由这三位数学家经过多年的努力建立起来的，Z代表策梅罗，F代表弗兰克尔，这是斯克伦。弗兰克尔、斯克伦只贡献了倒数第二条公理。其他的是策梅罗提出来的。一开始大家都认为倒数第二条是弗兰克尔的，但是最近发现，是他俩各自独立地提出来。C就是选择公理，选择公理也是策梅罗在证明良序定理的时候发现的。选择公理以前大家都在偷偷地用。策梅罗把这条公理提出来了，没有这个公理，许多东西没法证明。选择公理在现代数学史上争论非常大。

作为数学基础的ZFC，每一个数学定理都是ZFC的定理。CH不是ZFC的定理，CH否定也不是ZFC定理。证明“不能证明”到底是怎么做到的？哥德尔构造了一个模型L，在其中ZFC的公理和CH都是真的，所以根据逻辑的定理，我们不能指望从ZFC出发证明CH是假的。科恩做了相反的工作，他构造一个模型M[G]，在其中ZFC的公理和并非CH都是真的，所以根据逻辑的定理，我们不能指望从ZFC证明CH是真的。既不能证明它真也不能证明它假。

模型是什么？这涉及真。真的定义，最古老、最朴素的是亚里士多德的。亚里士多德说“以是为是以不是为不是，这就是真”。“以是为不是，以不是为是，这就是假”。实事求是就是真。这是符合论的真理观。今天所有人朴素的真理观都是符合论的。

塔斯基对真的定义是“雪是白的”是真的，当且仅当雪是白的。它的妙处就是在这个引号，因为塔斯基第一次区分了元语言和对象语言，当用引号时，这句话是作为对象来研究的，叫对象语言。“当且仅当雪是白的”在元语言中，用来研究它的语言。如果不区分元语言和对象语言，要讨论真的问题就会产生paradox（悖论）。最著名的是说谎者悖论。有人到了克里特岛，一个克里特岛人说所有克里特岛人都说谎。他这句话是真的还是假的？他有没有说谎。类似的说谎者悖论很多，比如“这句话是假的”，或者严格地说方框里的这句话是假的。那这句话是真的还是假的？这就是语义悖论，语义悖论的问题在于没有区分对象语言和元语言。这句话说到这里，那句话没出来。

塔斯基的这个定义非常重要。

语言L 模型（世界）M

项（相当于词，单词） 对象（单词指称的对象）

函数符号 函数

谓词符号 谓词（关系、属性）

句子 事实

这是语言和模型或者语言和世界的关系。比如“花是红的”“草是绿的”“鸟是白的”“水是清的”，这四句话在语言中都是真的。就是雪是白的，当且仅当雪是白的。但是在世界，“花是红的”就错了，“草是绿的”还对，“鸟是白的”也错了，“水是清的”，不知道真假。语言固定，换一个模型，原来真的句子可能假，原来假的句子可能真，原来真的句子不知道真假。

我们来看一些更严格的数学的形式语言。左边是词项，下面加一个，还是0，想象右边就是像这边的真实的世界一样，里面只不过没有花红柳绿，里面只有自然数，抽象世界，这个世界是无穷的。函数，属性，小于关系。这边2+2=4，对应的事实就是2+2=4。N这个世界满足句子φ，或者说φ在N中为真，这是塔斯基关于真的定义，还是符合论。

再看集合论的语言。这边是一些变元X，Y，Z……Ø代表空集。这边的宇宙不是自然数，改成集合，最特殊的集合是空集。以空集为唯一元素的集合，就是1。以空集和1唯二元素的集合，就是2。但是它没有函数，只有一个属于关系，x∈y，Ø∈{Ø}，唯一元素。但是x和y已经是一个变元，所以叫公式。当x代表Ø，y代表{Ø}的时候，V这个世界满足公式φ。用一个符号表示，就是V满足φ，把x换成Ø，把y换成{Ø}，这句话是对的。如果不这么换，这句话就是错的。这就是一句话在一个模型或者是一个世界为真。