V（都是集合的宇宙）是这样的。从空集开始，越来越大。第一个是空集，第二个是幂集，每次取它的幂集。空集的幂集有1个元素，20。这就是空集的幂集，就是空集所有的子集，就它自己。

有没有没有模型的语句？有的，比如0=1，找不到一个世界，这个世界0是等于1的。x≠x，φ和并非φ，永远找不到这样一些句子或者句子集的模型。因为它们是自相或相互矛盾的，逻辑上不一致，不一致的东西是没有模型的。我们可以想象各种各样的世界，在那个世界里花是绿的，草是红的，但是你不可能想象一个世界里面逻辑是不成立的，逻辑是我们人最基本的东西。理论T，一个语句集以及它的所有逻辑推论，比如ZFC就是一个理论。M是T的模型，对任意T中的语句φ，M就是理论的模型，也用同样的符号。我们从一个公理出发去证明一些句子，T能证明φ或者φ是T的定理。

一个理论是一致的，当且仅当它不能够证明一个矛盾。它能证明一个矛盾，它自身是不一致的；它不能证明矛盾，那么它就是一致的。可靠性定理、完全性定理是哥德尔的贡献。如果从T能证明φ，并且T的所有的这些公理在这个世界中为真，那么推出来的所有逻辑推论在里面也是真。完全性是说如果T是一致的，一定会找到一个模型来满足它。刚才说不一致的没有模型，完全性是说一致的一定有模型，这是两个方向。

有了这些就可以理解为什么哥德尔可以造这样的模型。他造了一个模型L使得两个东西在这里面都是真的。既然它都是真的，那么在ZFC就不能证明它，如果证明它，根据可靠性定理，那么L又是ZFC模型，L能满足并非CH，这样CH和并非CH都有一个模型L，所以就矛盾了。这是两个相互矛盾的命题，不能有模型。科恩的做法也是一样的道理，只不过是从另一个方向解释了证明“不能证明”是什么意思。

我们不能证明CH，也不能证明CH否定。大家开始争论了，这个争论从科恩和哥德尔就开始了。科恩说现在我们必须承认连续统假设，关于不可数集合所能问的第一个有意义的问题，这个本身是没有意义的。你既然不能证明它，它既不真也不假，就是问题提得不对，所以是没有意义的。但是哥德尔采取相反的观点，他说在reality（集合的宇宙、V）里，它一定或者是真的或者是假的。现在我们不能从集合论的公理来判定它，只是意味着这些公理本身没有完整地描述那个实在。我对那个集合的宇宙认识得不够清楚，所以我现在不能确定这个命题是真的还是假的。就像我们现在不能确定宇宙尺寸到底有多大，黑洞有没有存在，因为我们观察或者对物理宇宙理解的不够，所以有些命题不能确定真假。哥德尔说我们对数学的宇宙理解不够，所以连续统假设现在不能确定它。这种假设意味着只要我们有一天对数学宇宙理解足够多，那么连续统假设一定可以判定真假。这个争论一直持续到现在。

这是当今世界集合论研究的两位领头人。Shelah，以色列人，得过沃尔夫奖，是一个高产的数学家，有1000多篇论文，全世界各地的数学家和他进行合作。Woodin，原来在伯克利，现在到哈佛。他俩恰好分别站在了科恩和哥德尔的立场。科恩和哥德尔分别造了一个模型，在哥德尔的模型中CH是对的，在科恩造的模型中CH是不对的。这两个模型中，ZFC都是对的。Shelah说ZFC以上的宇宙是分岔的，在这部分宇宙的连续统假设是对的，在那部分不对。他说CH是我们能够对集合了解的最多的，剩下的哪个对无所谓。他不觉得我们有一个唯一的集合的宇宙，是一种多宇宙观，multiverse。本质上是一种对应的universe。物理学也有multiverse的观点，有很多平行的宇宙。woodin说不对，连续统假设一定能解，在这个特殊的宇宙中连续统假设是真的。这就是无穷有多大影响到集合论真理是什么。

“无穷有多大”和“真理有多远”之间有什么关系？无穷对于有穷有什么性质？第一个性质是把一个自然数n和ℵ₀和无穷来比，它比它大多少，可以用数学去刻画。首先任取一个函数，从n出发到ℵ₀，它在ℵ₀中一定是有界的，永远不能够占据它全部。比如自然数0、1、2、3，这是ℵ₀，你可以取一个很大的自然数n，不管多大，我做一个函数到这里，你只能映射到某一个地方，不能再超过它，因为你是有穷的。第二个性质是取幂集是一个非常迅速增加基数的手段，但是幂集不管取多少还是有穷的，还是比无穷小。

比照了这个性质，就可以考虑定义这样一个无穷，对比它小的无穷，就像ℵ₀对待有穷一样。ℵ₀和有穷之间有一个鸿沟，这个鸿沟是由这两条规定的，永远没法逾越。是不是有一个无穷，比它小的无穷和它之间也有这样的鸿沟。任意一个函数，从λ到κ都是有界的，并且不是取幂集，基数也在增加，但不管怎么增加还是比κ小。如果这样的基数存在，那这个基数叫作不可达基数。不可达基数有四位贡献者——豪斯多夫（Hausdorff）、策梅罗、谢尔品斯基（Sierpiski，波兰人，与策梅罗1930年合作发表1篇文章）、塔斯基。

这样定义出来的不可达基数存在吗？我们没法证明。这跟哥德尔的不完全性定理有关系。如果κ是不可达基数，我们可以在ZFC里证明Vκ是ZFC的模型。但是哥德尔不完全性定理恰恰说在ZFC里面不能证明ZFC有模型。这两个合起来，就是说ZFC不能证明存在不可达基数，我们没法解决这个问题。ZFC不能证明它存在的大基数有多少？现在发现的大基数有这么多。最大的大基数就是0=1。为什么它最大？因为一旦有了矛盾，你什么都可以证明。大基数排成一个序，越强的大基数，帮助我们发现真理的能力也越强。

ZFC+“存在某个大基数”，可以证明ZFC是一致的。如果得到更大的无穷，即可掌握更多的真理。可我们不能证明大基数存在，但是如果把“存在某个大基数”看作公理，则可以问：大基数公理是一致的吗？它有没有矛盾？怎么样证明大基数公理是一致的？这是一个难题。

现在有一种内模型计划，就是构造大基数公理的结构清晰的模型。我如果从ZFC出发能构造某一个大基数公理的模型，就等于在说这个大基数公理是安全的，它里面没有矛盾。目前，内模型计划的状况是，已经达到了可测基数，但离着超紧基数（supercompact）还很远。不管是可测基数还是超紧基数，都是比不可达基数更大的大基数。

Woodin正在寻求能够容纳一个超紧基数的内模型，他发现如果成功做到这一点，我们将实际上获得一个“终极”的模型（ultimate）。在这个终极的模型中，不但能容纳一个超紧基数，而且本质上可以容纳所有的大基数。集合论到今天已经走到一个很关键的地方。Woodin发现了有一个点，一旦超过了这一点，所有的大基数都进来。就像爬泰山一样，就再没有更高处了，可以一览众山小。而且还意味着在这个终极的模型中，所有已知的有关集合论的问题，包括连续统假设，都会有确定的答案。Woodin站在哥德尔的立场上，也叫柏拉图主义或者实在论立场上，设计了这样一条道路，如果我们能得到这个终极的模型，那么所有这些现在尚未解决的关于集合论的问题，在这里面都应该有一个答案。这是非常重大的或者说非常诱惑人的。但是另一方面也很危险，谁一旦证明它是不一致的，你永远找不到一个关于它的模型。数学基础又进入一个黑暗的时代，又有很多不知道真假的东西出来。这是当代集合论。这就是无穷和真理之间的关系，我们要想理解集合论宇宙更多的东西，我们需要更大的无穷。反过来也是一样，我们掌握更多的真理，会认识更多的无穷。

即使是这样的终极模型真的做出来了，我们还要问，这是不是意味着我们关于无穷，关于真理的追问画上了一个句号？这需要懂逻辑的哲学家或者是懂哲学的数学家来回答。为什么今天我们特别想强调学哲学的学生，特别是对那些比较深刻的问题或者关于自然的问题，关于数学的问题，有兴趣的学哲学的同学要去学数学，要去学逻辑；相反那些学数学的同学，对那些终极问题有兴趣的学生应该去学一点哲学。是因为这样的问题，既不是单纯的哲学家能回答的，也不是单纯的数学家能回答的，需要相互合作。逻辑学大概就是处在哲学和数学边界上的。

学生：您能不能以一个简单易懂的方法描述一下图灵机和停机问题。

老师：20世纪30年代，大家都在讨论一个问题，什么是可计算的？一个计算机学家说，计算机是一门非常实用的学科，但它起始于一个哲学问题。这个哲学问题就是：什么是computable？当时有很多人想这个问题，一共有四五种关于可计算的刻画，有图灵机、哥德尔的递归函数、波斯特函数、丘奇的λ可定义。最后惊奇地发现所有这些刻画的函数类是同一个类，丘奇论题说可计算的就是图灵可计算，就是递归的。最吸引人的概念就是图灵的可计算性。

图灵机是什么？这一台图灵机，这是一个读写头，相当于我们的眼睛和手，模仿的是人在计算的时候你干什么。看一眼，写一下，看一眼，写一下，又读又写。人里面有大脑，它有它的状态和内部的指令。另一个就是一张纸，是一些它可以想象向两边无限延长的格子。这个格子只有两种情况，一种是空的，可以写个0，一种是1。读写头在这个上面来回地走。只做这几个动作，一个是向左移，一个向右移，每次一个格；一个是在空格上画下一道，一个是把原来上面有的道抹掉。

图灵机怎么算？比如算2+2=4，它在输入的时候2就是两个1，中间空一个格，再输入两个1。怎么输出4？有一套规则。把这两个移到这里，然后再把这两个抹掉，最后剩下一个4。

图灵机本身是可以编号的，因为它里面的状态都是有穷的。为图灵机编一个号，就可以把所有的人能造出来的图灵机都列出来。这就是一个自然数，这样都列出来，每个都有编号，也可以看作一个算术问题，可以算。停机问题是说，你有没有一个统一的图灵机来算，当某一个图灵机有一个输入的时候，是不是一定会停下来？停机问题在图灵机是不可解的。