耗散控制

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最后更新 2023-09-20

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考虑如下形式的系统：

$\begin{array}{l} \dot {\boldsymbol x} =\boldsymbol f(\boldsymbol x,\boldsymbol u) \\ \boldsymbol y =\boldsymbol g(\boldsymbol x,\boldsymbol u) \\ \end{array}$

式中 $\boldsymbol x \in \boldsymbol {\mathrm R}^n$ 为状态向量； $\boldsymbol u \in \boldsymbol {\mathrm R}^m$ 为输入向量； $\boldsymbol y \in \boldsymbol {\mathrm R}^p$ 为输出向量，且 $\boldsymbol f(\boldsymbol 0_n,\boldsymbol 0_m)=\boldsymbol g(\boldsymbol 0_n,\boldsymbol 0_m)=\boldsymbol {\mathrm 0}$ （ $\boldsymbol 0_n$ 和 $\boldsymbol 0_m$ 分别为 $n$ 维和 $m$ 维零向量）；并且假设函数 $\boldsymbol f(\boldsymbol x,\boldsymbol u)$ 和 $\boldsymbol g(\boldsymbol x,\boldsymbol u)$ 均满足局部利普希茨条件。

将供给率 $q(\boldsymbol u,\boldsymbol y)$ 定义为系统输入量 $\boldsymbol u \in \boldsymbol {\mathrm R}^m$ 与输出量 $\boldsymbol y \in \boldsymbol {\mathrm R}^p$ 的一个连续函数，可取正值或负值。系统相对于供给率 $q(\boldsymbol u,\boldsymbol y)$ 是耗散的，如果存在一个 $C^1$ 类函数 $V(\boldsymbol x)$ ，使对所有的 $\boldsymbol x \in \boldsymbol {\mathrm R}^n$ ,有下式：

$\underline{\alpha}(\| {\boldsymbol x}\|)\leqslant V(\boldsymbol x)\leqslant \overline{\alpha}(\| {\boldsymbol x}\|)$

成立。 $\underline{\alpha}(\cdot)$ 和 $\overline{\alpha}(\cdot)$ 都是 $\kappa$ 类函数，并且使对所有的 $\boldsymbol x \in \mathrm R^n$ ， $\boldsymbol u \in \mathrm R^m$ 和所有的 $\boldsymbol y = \boldsymbol g(\boldsymbol x,\boldsymbol u)$ ，有下式：

$\frac{\partial V}{\partial \boldsymbol x}\boldsymbol f(\boldsymbol x,\boldsymbol u)\leqslant q(\boldsymbol u,\boldsymbol y)$

成立。如果对某一类 $\kappa$ 类函数 $\alpha(\cdot)$ ，有下式：

$\frac{\partial V}{\partial {\boldsymbol x}}\boldsymbol f(\boldsymbol x,\boldsymbol u)\leqslant \alpha(\|{\boldsymbol x}\|)+ q(\boldsymbol x,\boldsymbol y)$

成立，称系统为严格耗散的。

英文名称: dissipative control

所属学科: 控制科学与工程

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